L’histoire est familière dans la communauté mathématique et fréquemment citée dans la culture pop: à la mort de son mathématicien, Pierre de Fermat, il a laissé une équation mathématique théorique et une note alléchante en marge d’un livre. «J'ai une démonstration vraiment merveilleuse de cette proposition, que cette marge est trop étroite pour contenir», a-t-il écrit.
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Ce n’est pas le seul théorème non résolu que Fermat, né ce jour-là en 1601, ait laissé tomber, mais il est devenu avec le temps le plus célèbre. Au début des années 1960, il était assez connu qu'un jeune garçon de 10 ans, Andrew Wiles, en faisait la lecture dans un livre de bibliothèque. «Je savais à partir de ce moment que je ne le lâcherais jamais», a-t-il confié à PBS de nombreuses années plus tard. "Je devais le résoudre."
En mathématiques pures, il n’est pas rare de concevoir un théorème sans preuve connue. En fait, c'est souvent ce qui se passe. Cela ressemble un peu à la recherche infructueuse du passage du Nord-Ouest: les explorateurs savaient où se trouvait le Pacifique, mais aucun de leurs efforts pour l'atteindre par un passage intérieur ne s'est avéré efficace. Cependant, chaque essai a aidé à cartographier une nouvelle partie du continent.
Fermat était un génie mathématique enclin à des sauts étranges. «Après la mort de Fermat, les mathématiciens ont trouvé beaucoup de notes similaires», écrit Simon Singh pour The Telegraph . "Je peux fournir cela, mais je dois nourrir le chat" est mémorable. Mais au fil des siècles, tous ces théorèmes ont été prouvés, ne laissant que celui-ci et une histoire de tentatives échouées sur trois cents ans. Écrit pour le New York Times en 1996, Richard Bernstein a expliqué:
Tout le monde savait qu'il est possible de décomposer un nombre carré en deux composantes carrées, car sur 5 équivaut à 3 carrés plus 4 (ou 25 = 9 + 16). Ce que Fermat a vu, c’est qu’il était impossible de le faire avec un nombre supérieur à 2. En d’autres termes, la formule x n + y n = z n n’a pas de solution de nombre entier lorsque n est supérieur à 2.
Cela peut sembler simple, mais produire une preuve fiable s'est avéré être tout sauf une chose. "Etant donné qu'il y a une infinité de nombres possibles pour vérifier si c'était tout à fait cela, mais Fermat était absolument certain qu'aucun chiffre ne correspondait à l'équation, car il avait un argument parfaitement logique", écrit Singh. Quoi que ce soit, nous ne le saurons jamais, car il ne l'a jamais écrit.
C’est là que Wiles entre dans l’équation - pardon le jeu de mots. Enchanté par le mystère de trois cents ans, il tenta d'abord de le résoudre à l'adolescence. «Je pensais qu'il n'aurait pas connu beaucoup plus de mathématiques que je ne savais en tant qu'adolescent», a déclaré Wiles à PBS.
Il n'a pas réussi. Puis, lorsqu'il était étudiant, il réalisa qu'il était loin d'être le premier à essayer de reproduire l'argumentaire de Fermat. «J'ai étudié ces méthodes», a-t-il déclaré. «Mais je n'allais toujours pas. Puis, quand je suis devenu chercheur, j'ai décidé de mettre le problème de côté. "
Il n'oubliait pas son premier amour, mais «réalisa que les seules techniques auxquelles nous devions nous attaquer existaient depuis 130 ans. Il ne semblait pas que ces techniques soient vraiment à la racine du problème. »Et à ce stade, le dernier théorème de Fermat n’était pas nouveau et son intérêt pour celui-ci était un peu excentrique.
Il a fallu une avancée mathématique des années 1980 pour ramener le problème au XXe siècle. Un autre mathématicien a prouvé qu'il existait un lien entre ce que l'on appelle la conjecture de Taniyama-Shimura et le dernier théorème de Fermat. «J'étais électrifié», a déclaré Wiles. Il a vu que cela signifiait que s'il pouvait prouver la conjecture, il pourrait prouver Fermat, tout en travaillant également sur un nouveau problème.
Il a travaillé sur le problème en secret pendant sept ans - puis il a pensé avoir trouvé une preuve fiable. Quand il l'a annoncé au monde des mathématiques en 1994, c'était comme si il avait découvert le passage du Nord-Ouest. (Il y avait une erreur dans sa preuve qu'il a finalement réussi à réparer avec l'aide d'un autre mathématicien.) Aujourd'hui, il est accepté que le dernier théorème de Fermat a été prouvé. L'année dernière, Wiles a reçu le prix Abel (parfois appelé le prix Nobel de maths) pour son travail.
Mais la question de savoir comment Fermat a prouvé - ou pensé avoir prouvé - son théorème reste sans réponse et le sera probablement toujours. La preuve de Wiles fait 150 pages et, at-il dit à PBS, «cela n'aurait pas pu être fait au 19ème siècle, encore moins au 17ème siècle. Les techniques utilisées dans cette preuve n'existaient tout simplement pas à l'époque de Fermat. Wiles, comme la plupart des mathématiciens, pense que Fermat avait tort. Mais peut-être, peut-être, existe-t-il une épreuve «vraiment merveilleuse» beaucoup plus courte que 150 pages. Nous ne saurons jamais.
